數(shù)學(xué)家們奉行的保密原則起始于古希臘,早在公元前6世紀(jì),神秘主義哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就嚴(yán)格禁止他的弟子們把數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)泄密給外人,否則會(huì)招來(lái)殺身之禍。畢達(dá)哥拉斯意識(shí)到從音樂(lè)的和聲到行星的軌道,一切事物均含有數(shù),他因此宣稱“萬(wàn)物皆數(shù)”,他創(chuàng)造的“數(shù)學(xué)”這個(gè)詞的希臘文原意便是“可以學(xué)到的知識(shí)”。畢氏學(xué)派最有意味的發(fā)現(xiàn)之一是所謂的“畢達(dá)哥拉斯定理”,即直角三角形的兩個(gè)直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方和。雖然中國(guó)人和巴比倫人發(fā)現(xiàn)這個(gè)秘密比希臘人要早得多,可是他們都沒(méi)能給出證明。
畢達(dá)哥拉斯不僅予以嚴(yán)格的證明,并且從這個(gè)幾何問(wèn)題中提煉出有關(guān)整數(shù)的方程(后人稱此類方程為丟番圖方程),即如何將一個(gè)平方數(shù)寫成兩個(gè)平方數(shù)之和。他探討了滿足這個(gè)方程的所有三元數(shù)組,其中最小的一組當(dāng)然是(3,4,5)。在丟番圖的《算術(shù)》里,這個(gè)問(wèn)題的編號(hào)是第八,正是在靠近問(wèn)題八的頁(yè)邊上,費(fèi)爾馬寫下了下面這段文字:“不可能將一個(gè)立方數(shù)寫成兩個(gè)立方數(shù)之和,或者,將一個(gè)四次冪寫成兩個(gè)四次冪之和,總之,不可能將一個(gè)高于二次的冪寫成兩個(gè)同次冪的數(shù)之和?!?/p>
在這個(gè)評(píng)注的后面,這位好惡作劇的遁世者又草草地寫下一個(gè)附加的注中之注:“對(duì)此命題我有一個(gè)非常美妙的證明,可惜此處的空白太小,寫不下來(lái)。”隨著克萊蒙-塞繆爾所編的書的出版,這個(gè)問(wèn)題在后來(lái)的三百多年間聞名于世,同時(shí)也苦惱了一代又一代最有智慧的頭腦,包括歐拉和柯西這樣偉大的數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)全身心地投入并栽了跟頭。為此,法國(guó)科學(xué)院在19世紀(jì)中葉設(shè)立了第一筆獎(jiǎng)金,結(jié)果卻給了對(duì)法國(guó)懷有仇恨的德國(guó)人庫(kù)默爾,他的工作說(shuō)明了證明費(fèi)爾馬大定理的希望非常渺小。
在庫(kù)默爾去世十五年以后,另一位德國(guó)人保羅·沃爾夫斯凱爾為破譯費(fèi)爾馬的謎語(yǔ)注入了新的活力。保羅出生在殷富人家,雖然他的一生大部分時(shí)間花在經(jīng)商上,卻始終對(duì)數(shù)論有著特別的迷戀。有一天晚上,保羅因?yàn)橐晃黄僚缘碾x去準(zhǔn)備自殺,卻因?yàn)殚喿x費(fèi)爾馬問(wèn)題的經(jīng)典文獻(xiàn)入了迷,錯(cuò)過(guò)了與死神約會(huì)的時(shí)間。可以說(shuō),是“費(fèi)爾馬最后的定理”重新喚起了他生命的欲望,為此他后來(lái)立下遺囑,用十萬(wàn)馬克(約合現(xiàn)在的一百萬(wàn)英鎊)獎(jiǎng)給第一個(gè)證明它的人。
最后,在上個(gè)世紀(jì)行將結(jié)束之際,在費(fèi)爾馬的其他問(wèn)題和評(píng)注全部解決之后,一位叫安德魯·懷爾斯的沉默寡言的英國(guó)人,澄清了這個(gè)歷史疑案,領(lǐng)走了那份誘人的獎(jiǎng)金。其時(shí)懷爾斯受聘于美國(guó)的普林斯頓大學(xué),可他卻返回祖國(guó),在母校劍橋大學(xué)的艾薩克·牛頓研究所宣布這一結(jié)果,這似乎是對(duì)當(dāng)年目空一切的費(fèi)爾馬的一個(gè)有禮貌的回敬。雖然懷爾斯的這個(gè)證明不久以后被發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題,但是經(jīng)過(guò)他兩年的不懈努力,尤其是得到一位叫泰勒的同胞的幫助以后,漏洞終于被徹底地修補(bǔ)好了。
懷爾斯是個(gè)幸運(yùn)兒,他實(shí)際上證明的是以兩位日本數(shù)學(xué)家名字命名的谷山-志村猜想,后者可以直接導(dǎo)出費(fèi)爾馬大定理,這種內(nèi)在的聯(lián)系僅僅是在十年前才由一位德國(guó)數(shù)學(xué)家提出,而后由一位美國(guó)數(shù)學(xué)家證實(shí)的。假如完成這兩項(xiàng)工作的時(shí)間互換一下,即先證明谷山-志村猜想,再證明猜想和大定理之間的遞推關(guān)系,那份至高的榮譽(yù)就落在那個(gè)美國(guó)人頭上了。值得一提的是,谷山和志村在而立之年就提出了猜想,他們屬于日本戰(zhàn)后最富創(chuàng)造力的一代,雖然所受的教育并不完整。1958年,年僅三十一歲的谷山在寓所里自殺,他的遺囑表明,他對(duì)自己的生活失去了信心,他至死都不知道自己工作的偉大意義。
懷爾斯的證明動(dòng)用了現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多最深刻的結(jié)果和方法,這些工作中的相當(dāng)一部分都是受“費(fèi)爾馬最后的定理”的刺激發(fā)展起來(lái)的?,F(xiàn)在,這只下金蛋的雞終于被宰吃了,數(shù)學(xué)家們需要多少個(gè)世紀(jì)才能重新找回,無(wú)人能夠做出預(yù)測(cè)。當(dāng)這條驚人的消息從劍橋傳出,我正在香港大學(xué)參加一個(gè)國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議,當(dāng)代最偉大的數(shù)論學(xué)家之一、挪威出生的美國(guó)人賽爾伯格剛做完了一次特邀報(bào)告,他念叨著那位年輕的普林斯頓同事的名字,臉上露出一絲難言的笑容。四十多年前,賽爾貝格因?yàn)橛贸醯确椒ㄗC明了“素?cái)?shù)定理”獲得菲爾茲獎(jiǎng),現(xiàn)在他終于要徹底退休了。1
自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分以后,數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值越來(lái)越為人們所知,數(shù)學(xué)家們被迫去從事一些新領(lǐng)域的研究,這些領(lǐng)域包括從粒子物理到生命科學(xué)、從航空技術(shù)到地質(zhì)勘探等幾乎一切應(yīng)用學(xué)科。與此同時(shí),在這個(gè)越來(lái)越講究實(shí)際的時(shí)代,以費(fèi)爾馬畢生鐘愛(ài)的數(shù)論為代表的純粹數(shù)學(xué)逐漸不為人重視。或許是害怕被人冷落,數(shù)學(xué)家們每隔一段時(shí)間會(huì)炮制出一條特大新聞,費(fèi)爾馬的頭像上了《紐約時(shí)報(bào)》的頭版頭條。在“費(fèi)爾馬最后的定理”之后,數(shù)學(xué)寶庫(kù)里還有黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)猜想,還有畢達(dá)哥拉斯時(shí)代遺留下來(lái)的完美數(shù)和友好數(shù)問(wèn)題。這些問(wèn)題或猜想有的難度更大,有的歷史更久,可是就傳奇色彩來(lái)說(shuō),卻沒(méi)有一個(gè)比得上“費(fèi)爾馬最后的定理”。