如果我們分別考慮"知覺／感知"的空間（它在嬰兒出生后幾個月就已經(jīng)成形）與"概念／運算"的空間，我們就會發(fā)現(xiàn)在這兩個領域里有同樣的發(fā)展原則：最初是鄰近、聯(lián)結、封閉和邊界等拓撲關系，占著支配地位，此后我們才觀察到歐幾里德尺度幾何（Euclidean metric geometry）與投影幾何（projective geometry），同時而相互協(xié)調地建構起來，最后投影幾何的觀點才又與尺度幾何、拓撲學等的觀點，取得協(xié)調（compatibility）。

例如方形與圓形都用封閉的線圍成，皮亞杰認為，對于四歲以前的兒童，方形與圓形是同樣的圖形，等到滿七八歲之后，隨著拓撲學的知覺發(fā)展，兒童才逐漸形成投影的與歐幾里德尺度的知覺（Piaget and Inhelder,C hild's Concept of Space (1948)?；騾⒁姟镀喗軆和睦韺W》，1969 年，吳福元譯，唐山出版社）。

這種主張顯然是錯誤的，早在嬰兒時期人便能準確辨認母親的臉孔。但母親的臉孔與其他女人（甚至其他動物）的臉孔，在拓撲上原本是等同的（如同２與５這兩個數(shù)字），何以他能如此清楚地分辨？兩歲左右的小孩能準確地在拼圖游戲中把形狀相當復雜的紙板，依其形狀塞入相應的凹槽之中，這難道不足說明小孩老早已有尺度的知覺？

皮亞杰的錯誤來自描述能力與辨認能力的混淆，亦即文明能力與自然能力的混淆。在描述的層次上，人固然是先拓撲，再投影，最后才進入豐富復雜的尺度幾何（metric geometry）?？墒窃诒嬲J的層次上，人卻是反過來，先認識尺度幾何，再逐次意識到投影幾何及拓撲。

事實上人的歷史發(fā)展也在印證這點。不論哪一個民族早期的幾何都是尺度幾何，人所面對的復雜但豐富的世界自始便是尺度（即長度角度）概念所決定的世界，而不是結構簡單的拓撲世界（只殘留極限或鄰近的概念）。隨著文明的發(fā)展，人一步步地將周遭的世界分離出不同層次的結構，一一加以剝離，最后才出現(xiàn)拓撲世界（再進一步，便是單純的集合論）。這種逐層剝離的抽象過程為的是要更清晰地洞察原來復雜而豐富的尺度世界。有了這番抽象，人便可以反過來改從最簡單的拓撲世界出發(fā)，通過演繹與推理，逐步探討投影，仿射（affine）以迄帶著尺度的現(xiàn)實世界。