伽遼金法加權(quán)余量積分式的推導(dǎo), 比用廣義變分原理推倒變分方程簡(jiǎn)單得多, 所以本書中三維情況下的大地電磁變分方程采用了伽遼金方法。但是, 伽遼金方法有一個(gè)缺點(diǎn), 微分算符￡出現(xiàn)在式(2.30)中的積分號(hào)內(nèi), 與變分法的泛函相比, 具有更高階的微商, 形函數(shù)應(yīng)該具有較高的階次的連續(xù)性, 這往往給形函數(shù)的構(gòu)造帶來極大的困難, 為了避免上述困難, 可以對(duì)式(2.30)進(jìn)行分部積分, 或應(yīng)用格林公式, 來降低微分項(xiàng)的階次。

2.2.2 三維MT邊值問題的Galerkin有限元方程

式(2.15)和(2.16)定義了MT問題的邊值問題。借助于矢量恒等式B·(×A)=A·(×B)+·(A×B)和Gauss分部積分公式, 其對(duì)應(yīng)的變分為

b(E, V)=f(V), V∈H(curl)    (2.31)

上式中, H(curl)={V‖V∈L2(Ω), V×n=n×V0}, b為雙線性表達(dá)式, f 為單線性表達(dá)式: 

b=∫Ω(×E·×V-iωμσE·V)dΩ    (2.32)

如果在此就考慮方程(2.16)所示的Dirichlet邊界條件作為本書的源項(xiàng), 右端項(xiàng)f可表示為: 

f=∮ΩV·E0dΓ    (2.33)

式(2.33)表示在邊界上對(duì)已知的電場(chǎng)E0作邊界積分。

為了求解方程(2.32)所表示的電場(chǎng)分布, 本書在此采用矢量有限元的方法。在矢量有限元法中, 需要首先把整個(gè)求解區(qū)域離散化成一系列的六面體單元。與節(jié)點(diǎn)型有限元不同之處在于, 在網(wǎng)格六面體單元中的每條邊的切向上定義單標(biāo)量的切向電場(chǎng)值E?？紤]任意的六面體單元e, 在e中電場(chǎng)的近似表達(dá)式為: