學(xué)會(huì)把一株樹(shù)的樹(shù)冠的圖式與關(guān)于未來(lái)和上帝（ｔｈｅＤｉｖｉｎｅ）的語(yǔ)義網(wǎng)聯(lián) 系起來(lái)，把樹(shù)的根部的圖式與關(guān)于過(guò)去和魔鬼的語(yǔ)義網(wǎng)聯(lián)系起來(lái)。與一種甜食 或溫暖的火光一起產(chǎn)生的各種感覺(jué)狀態(tài)（ｓｅｎｓｏｒｙｓｔａｔｅｓ）的圖式是善（ｇｏｏｄ）的語(yǔ) 義網(wǎng)的組成成分；而苦味和痛苦是惡（ｂａｄ）的語(yǔ)義網(wǎng)的組成成分。一個(gè)向自我或 向另一個(gè)人挑釁而產(chǎn)生的憂慮，很可能與關(guān)于公平和正義的語(yǔ)義網(wǎng)有關(guān)。簡(jiǎn)單 地說(shuō)，首先發(fā)展起來(lái)的各種可感知的經(jīng)驗(yàn)的表達(dá)，常常被用作腳手架，以擴(kuò)大抽 象的語(yǔ)義術(shù)語(yǔ)（ｓｅｍａｎｔｉｃｔｅｒｍｓ）的意義。如果一份技術(shù)報(bào)告包含著一幅大腦的圖 片，而另一份報(bào)告只展現(xiàn)數(shù)據(jù)，并非專業(yè)神經(jīng)科學(xué)家的大學(xué)生可能會(huì)更相信前者 的結(jié)論。在判斷一個(gè)因一樁嚴(yán)重的罪行而受到審判的人是否為精神病患者時(shí)， 如果辯護(hù)律師出示被告大腦的圖片，并指出其大腦與大部分人的大腦不一樣，所以不能完全為他的行為負(fù)責(zé)，這時(shí)陪審員也很容易接受律師的意見(jiàn)?；蛟S這就 是為什么為普通讀者寫(xiě)作的弦理論家（ｓｔｒｉｎｇｔｈｅｏｒｉｓｔｓ）要加上一幅圖，表示一根 弦看起來(lái)可能像什么東西，即使作者們都知道用圖來(lái)解釋那些關(guān)于弦的數(shù)學(xué)方 程式是不可能的。作為一個(gè)成年人，我相信用言辭和用數(shù)學(xué)公式證明地圓說(shuō)的 論點(diǎn)，但我猜想，如果新的證據(jù)使科學(xué)家們改變他們的見(jiàn)解，我可能被他們說(shuō)服 而改變我的想法。但當(dāng)我看見(jiàn)太空船拍攝的我們星球的圖片，我對(duì)于地球是圓形的這一信念就變得不可動(dòng)搖了。一圖確實(shí)勝千言。

數(shù)學(xué)概念

在笛卡兒和牛頓極其成功地證明各種數(shù)學(xué)命題后，微分對(duì)三種類型的心智 工具的解釋能力，在１７世紀(jì)的歐洲變得清晰。自然哲學(xué)家開(kāi)始聲稱，各種方程 式將會(huì)取 代 各 種 圖 解 和 語(yǔ) 義 的 描 述，這 在 任 何 時(shí) 候 都 是 可 能 的。數(shù) 學(xué) 形 式（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｆｏｒｍｓ）已經(jīng)被證明在物理學(xué)和化學(xué)中極其有效。維爾納·海森堡（ＷｅｒｎｅｒＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇ）創(chuàng)造性地使用代數(shù)矩陣（ａｌｇｅｂｒａｉｃｍａｔｒｉｃｅｓ）發(fā)現(xiàn)了著名的測(cè)不準(zhǔn)原理（ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，或譯“不確定性原理”）。許多物理學(xué)家，包括愛(ài)因斯坦，開(kāi)始時(shí)都抵制海森堡的論點(diǎn)，因?yàn)樵撜擖c(diǎn)否定了嚴(yán)格的決定論。難以想象，沒(méi)有什么詞語(yǔ)能夠準(zhǔn)確地描述各種矩陣所展現(xiàn)的物理現(xiàn)象。海森堡的導(dǎo)師尼爾斯·玻爾（ＮｉｅｌｓＢｏｈｒ）更喜歡把語(yǔ)義概念與電子繞著質(zhì)子和中子的原子核旋轉(zhuǎn)的圖式結(jié)合起來(lái)思考。令人驚訝的是，玻爾的研究筆記上只有圖片和詞語(yǔ)，但沒(méi)有數(shù)學(xué)計(jì)算。當(dāng)玻爾在１９３９年第一次聽(tīng)說(shuō)鈾原子裂變的消息時(shí)，他試圖通過(guò)想象一滴往下落的球形的水滴（代表原子核）因受到中子的轟擊而變形為一顆花生的形狀來(lái)理解這種驚人的現(xiàn)象。玻爾關(guān)于一顆被加熱的原子散發(fā)出來(lái)  的光譜線和繞著它轉(zhuǎn)的電子能量之間的關(guān)系的洞見(jiàn)，是某種直覺(jué)而不是用方程式進(jìn)行運(yùn)算的結(jié)果。

保羅·迪拉克（ＰａｕｌＤｉｒａｃ）也是通過(guò)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)思考的一個(gè)英國(guó)的物理學(xué)家，他的一篇評(píng)論通過(guò)比較海森堡所偏愛(ài)的工具和玻爾所偏愛(ài)的工具，揭示了兩者的差異。１８２６年，迪拉克曾在哥本哈根拜訪過(guò)玻爾，玻爾堅(jiān)持使用那些基于定性的語(yǔ)義概念的論點(diǎn)，而不是較不含糊的各種數(shù)學(xué)方程式，這使迪拉克產(chǎn)生了挫折感，因?yàn)楹笳呤怯?guó)科學(xué)家認(rèn)為在心理上比較容易操作而且讓人感到滿意得多的方法。當(dāng)與玻爾一起參觀一場(chǎng)藝術(shù)展覽時(shí)，迪拉克注意到莫奈的一幅畫(huà)中一條小船旁邊有一點(diǎn)暗灰色的、模糊的顏料，于是說(shuō)道：“這點(diǎn)是不合理的。”［３１］喬治·蓋莫（ＧｅｏｒｇｅＧａｍｏｗ）是一個(gè)物理學(xué)家，在克里克和沃森描述脫氧核糖核酸的結(jié)構(gòu)前就設(shè)想脫氧核糖核酸是一套編碼，他提供了一個(gè)有說(shuō)服力的例子，說(shuō)明一個(gè)科學(xué)家所偏愛(ài)的思維工具如何得以干擾一次發(fā)現(xiàn)。因?yàn)閷?duì)稱（意思是沒(méi)有改變物體形狀的一次數(shù)學(xué)運(yùn)算）在物理學(xué)中是一種基本概念，蓋莫假定信使核糖核酸（ｍｅｓｓｅｎｇｅｒＲＮＡ）辨認(rèn)脫氧核糖核酸分子，不管是從左到右還是從右到左 都不會(huì)有什么區(qū)別。然而，核糖核酸具有某種極性（ｐｏｌａｒｉｔｙ），而信使核糖核酸只從 一個(gè)方向來(lái)辨認(rèn)脫氧核糖核酸的編碼。所以，蓋莫未能推斷出該分子的正確分子 結(jié)構(gòu)。尤金·威格納（ＥｕｇｅｎｅＷｉｇｎｅｒ）是另一個(gè)通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思考問(wèn)題的物理學(xué)家，他指出他的分析意味著生命形式絕對(duì)不可能從化學(xué)元素中產(chǎn)生。凱爾文勛爵（ＬｏｒｄＫｅｌｖｉｎ）是不是１９世紀(jì)最受尊敬的自然科學(xué)家暫不作論，但他恐嚇達(dá)爾文， 說(shuō)他的數(shù)學(xué)分析證明地球不可能那么古老，所以不可能支撐達(dá)爾文的理論主張。

有些兒童很難把數(shù)學(xué)表達(dá)（ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ）與較熟悉的詞語(yǔ)的表達(dá)區(qū)分開(kāi) 來(lái)?？枴s格（ＣａｒｌＪｕｎｇ）曾提供了一個(gè)心理障礙（ｐｓｙｃｈｏｌｏｇｉｃａｌｂｌｏｃｋ）的例 子。他回憶起自己小時(shí)候完全沒(méi)有能力接受這樣一個(gè)論點(diǎn)：如果犪＝犫并且犫＝犮， 那么犪＝犮，因?yàn)樗偸怯酶鞣N語(yǔ)義的概念來(lái)取代各個(gè)字母的符號(hào)，并厭惡以下這種可能性：如果貓＝寵物并且寵物＝狗，那么貓＝狗?！拔业闹橇Φ赖路纯惯@些古怪的矛盾事物，這永遠(yuǎn)阻止了我理解數(shù)學(xué)?！保郏常玻輼s格遇到的困難是可以理解的。在一個(gè)方程式中的一個(gè)字母可以代表任何種類（ｃｌａｓｓ）的一系列現(xiàn)象的數(shù)值，這個(gè)觀念的出現(xiàn)還只有１２個(gè)世紀(jì)。此外，某些語(yǔ)言用不同的名稱來(lái)稱呼等量的不同性質(zhì)的物體。比如，斐濟(jì)（Ｆｉｊｉ）東部島嶼的居民稱１００條獨(dú)木舟為博拉（ｂｏｌａ），稱１００顆椰子為科拉（ｋｏｒａ）。［３３］我認(rèn)為人類歷史上后來(lái)出現(xiàn)的代數(shù)學(xué)意味著，與語(yǔ)義表達(dá)或圖式表達(dá)的操作不一樣，用各種抽象的數(shù)學(xué)概念來(lái)推論的能力，不是一種生物學(xué)上已經(jīng)準(zhǔn)備好的、輕易地來(lái)自人類直覺(jué)的能力。記住，幾何學(xué)的出現(xiàn)早于代數(shù)學(xué)許多世紀(jì)。伯特蘭·羅素在１１歲第一次讀過(guò)歐幾里得（Ｅｕｃｌｉｄ）的書(shū)后就愛(ài)上數(shù)學(xué)的這種情況是罕見(jiàn)的。