從傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)的角度來說，冪律分布的性質(zhì)非常奇怪，完全不符合人們的直覺。正態(tài)分布的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都相等；而冪律分布的L形是歪斜的、不對稱的，所以冪律分布的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)并不相等。小布什總統(tǒng)就曾在他的競選演說里利用過冪律分布的這個性質(zhì)。小布什總統(tǒng)聲稱，2003年的減稅計劃讓每個美國家庭平均少繳納稅款1 586美元。從技術(shù)上來說，這句話并沒有撒謊，1 586美元是減稅額度的平均值，但這個說法卻帶有很強的誤導(dǎo)性。因為冪律分布是高度不對稱的，最左側(cè)0.1%的富裕家庭中，每個家庭可能獲得數(shù)萬美元的減稅數(shù)額，減稅額度的平均數(shù)被這些家庭嚴(yán)重地拉高了。而右側(cè)這個長長的“尾巴”才能反映出普通家庭獲得的減稅數(shù)額，這個“長尾”服從冪律分布。在冪律分布的情況下，平均數(shù)并不能反映出大部分家庭獲得的減稅額度。事實上，減稅額度分布的中位數(shù)是650美元，也就是說，一半以上的家庭獲得的減稅金額不足650美元。從這個例子可以看出，冪律分布的平均值和中位數(shù)的差異很大。

上面的例子展示出冪律分布的最大特點：長尾分布，長尾分布又稱肥尾分布或重尾分布。相比正態(tài)分布，長尾分布中極端情況發(fā)生的概率會更大。當(dāng)然，和正常情況比，極端情況仍然是極少發(fā)生的，但是如果把一個長尾分布誤認(rèn)作正態(tài)分布，我們就可能會嚴(yán)重低估極端情況的發(fā)生概率。

1987年10月19日被稱為金融市場的“黑色星期一”。那一天，美國道?瓊斯工業(yè)平均股票指數(shù)一日之內(nèi)暴跌了22%。相比正常交易日中股市的波動幅度，那一天的跌幅遠(yuǎn)在22個標(biāo)準(zhǔn)差之外。如果我們用傳統(tǒng)的正態(tài)分布鐘形曲線來模擬股市，這一天的情況幾乎是不可能發(fā)生的，22個標(biāo)準(zhǔn)差之外的極端情況的發(fā)生概率，應(yīng)該在10的50次方分之一以下，而這種極端情況居然真的發(fā)生了。為什么呢？因為股市的波動并不服從正態(tài)分布，長尾分布比正態(tài)分布更適合用來模擬股市的變化。

除了股市的波動，地震、山火、洪水的發(fā)生也都不服從正態(tài)分布。這給保險公司的風(fēng)險管理部門帶來了更大的挑戰(zhàn)。同樣，戰(zhàn)爭和恐怖襲擊等造成的死亡事件也不服從正態(tài)分布。當(dāng)然，長尾分布并不是災(zāi)難的專利，小說里詞匯的出現(xiàn)頻率和人們的性行為習(xí)慣也都服從長尾分布。

雖然長尾、肥尾、重尾這幾個名字并不好聽，但隨著長尾理論日益受到人們的重視，這幾個詞的出現(xiàn)頻率也漸漸高了起來。我仿佛能聽到這個極不對稱的分布驕傲地指著自己的尾巴說：“說我長，說我重，說我肥？請搞清楚，我才是當(dāng)下的常態(tài)?！?/p>