杜甫詩(shī)文中的歷法問(wèn)題

杜甫詩(shī)文中有一些篇章涉及歷法問(wèn)題，而歷法是專門(mén)之學(xué)，舊時(shí)注家未必深通其術(shù)，所以解說(shuō)中難免出現(xiàn)一些誤解，或者對(duì)某些文句茫然不知其解。這不能不說(shuō)是一個(gè)缺憾。本文僅就習(xí)學(xué)所得一二，對(duì)其中幾個(gè)問(wèn)題試加探討。

大歷年間，杜甫在夔州作《雨》詩(shī)一首。由于涉及歷法問(wèn)題，作品編年也產(chǎn)生爭(zhēng)議：

冥冥甲子雨，已度立春時(shí)。輕箑煩相向，纖恐自疑。煙添才有色，風(fēng)引更如絲。直覺(jué)巫山暮，兼催宋玉悲。

宋人趙次公謂：“按《資治通鑒》，大歷二年正月辛亥朔，至十三日甲子。但不知立春在前相去幾日，以無(wú)《長(zhǎng)歷》考之也。今立春矣，值春甲子而雨，則將有諺語(yǔ)千里之旱，不亦可憂乎？”系此詩(shī)于大歷二年（767）。黃鶴注謂：“按《舊史》，大歷元年正月丁巳朔，則是初八日為甲子。史又云自春旱，至六月庚子始雨，卻與唐諺合。公是時(shí)在云安。其年十一月甲子日長(zhǎng)至，方改為大歷元年。若大歷二年，甲子在正月十三日，而立春已在元年十二月二十六七，無(wú)容謂甲子雨‘已度立春時(shí)’也?！?sup>黃鶴注的意思是大歷二年正月十三日甲子，而立春在此前的十二月二十六七日，自然不可能有自甲子日下雨直至立春的情況，因此改系此詩(shī)于大歷元年（766）云安作。與趙次公相比，黃鶴當(dāng)是認(rèn)真核查了歷日，故下此判斷。

明代王嗣奭對(duì)宋人舊注提出不同意見(jiàn)：“先雨而度立春，是冬甲子雨，而注引春甲子，誤。按諺：‘冬雨甲子，雪飛千里?！戏降嘏什谎┒?。注引‘赤地千里’，是年春旱，又誤?！?sup>意思是說(shuō)此甲子日并非是春正月甲子，而是立春前的冬甲子。這樣就解釋了自甲子雨而至立春的問(wèn)題。但是他沒(méi)有說(shuō)明冬甲子的日期（應(yīng)在十一月），對(duì)此詩(shī)系年也沒(méi)有發(fā)表意見(jiàn)。清仇兆鰲注引用了王嗣奭說(shuō)，系年則從黃鶴注，此外未加任何解釋，或許并沒(méi)有在意此二人說(shuō)法中可能包含的問(wèn)題。

以上三人說(shuō)法中，王嗣奭說(shuō)最不可取。如果依王說(shuō)，此甲子日是冬甲子，在立春前，而非在立春后，那么如黃鶴注已查明的，大歷二年立春在大歷元年十二月二十六七日（實(shí)為二十七日戊申。古人以冬至為二十四節(jié)氣之首，兩個(gè)冬至之間即是一個(gè)回歸年），大歷元年立春在永泰元年（765）十二月十六日癸卯。據(jù)此可以推算出，大歷二年前的冬甲子至立春為44天，大歷元年前的冬甲子至立春為39天。不論是在夔州還是在其他地方，哪有可能一冬下如此長(zhǎng)雨？況且詩(shī)里所描寫(xiě)的情景也全非如此。王嗣奭的牽強(qiáng)解釋實(shí)乖謬于常識(shí)。

黃鶴通過(guò)核查歷書(shū)，改動(dòng)此詩(shī)系年，思路似較前人嚴(yán)密，但其說(shuō)法其實(shí)是站不住腳的。因?yàn)橹灰獡?jù)其思路追究一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，即使將此詩(shī)作年提前到大歷元年，立春同樣在正月甲子日前，而且更為提前，達(dá)21天，而大歷二年是16天。因而改動(dòng)系年不但沒(méi)有解決問(wèn)題，反而使問(wèn)題更難解釋。實(shí)際上，根據(jù)歷法常識(shí)可以知道，只有將此詩(shī)作年后移，甲子日才會(huì)出現(xiàn)在立春之前。因?yàn)橐粋€(gè)回歸年（即二十四節(jié)氣一個(gè)循環(huán)）為365日，比六十甲子的倍數(shù)360日多出5日。只有將此詩(shī)作年后移三年以上，甲子日才會(huì)跑到立春之前。但這時(shí)杜甫不但已離開(kāi)夔州，甚至已離開(kāi)人世。黃鶴看來(lái)沒(méi)有料到他的推論如此經(jīng)不住推敲，這是因?yàn)樗麑?duì)歷法知識(shí)不熟悉，或者查歷書(shū)沒(méi)有查到底。

事實(shí)上，黃鶴等人對(duì)詩(shī)意本身理解有誤，才導(dǎo)致對(duì)系年的不必要改動(dòng)。詩(shī)云“冥冥甲子雨，已度立春時(shí)”，是說(shuō)甲子這天下雨，而這一天已在立春之后，并不是說(shuō)自甲子日下雨一直下到立春。大歷二年正月甲子日在立春之后，這并沒(méi)有什么特別之處（大歷元年、三年、四年也是如此），而恰好這一天下雨，使詩(shī)人想到了俗諺所說(shuō)“春雨甲子，赤地千里”（見(jiàn)《朝野僉載》卷一，趙次公注已引）。在以上注家中，只有趙次公沒(méi)有誤會(huì)詩(shī)意，其他人都被黃鶴引導(dǎo)到錯(cuò)誤方向上去了，這至少說(shuō)明注家都沒(méi)有肯再去核實(shí)黃鶴提出的歷法問(wèn)題，而其實(shí)這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的算術(shù)問(wèn)題。

為了顯示自己的博學(xué)多才，杜甫在一些文章寫(xiě)作中直接安插進(jìn)了歷法內(nèi)容。天寶年間，杜甫在長(zhǎng)安獻(xiàn)三大禮賦，其中《朝獻(xiàn)太清宮賦》寫(xiě)到：

帝之苗裔，坤之紀(jì)綱。土配君服，宮尊臣商。起數(shù)得統(tǒng)，特立中央。且大樂(lè)在懸，黃鐘冠八音之首；太昊斯啟，青陸獻(xiàn)千春之祥。

清朱鶴齡注此文，引《史記·歷書(shū)》及《索隱》黃鐘為律之首之說(shuō)，又引《漢書(shū)·律歷志》“黃鐘為天統(tǒng)”之說(shuō)。仇兆鰲注又引《律歷志》“數(shù)從統(tǒng)首日起算”及“以閏法乘日法得統(tǒng)法”之說(shuō)。

在《有事于南郊賦》中杜甫又寫(xiě)到：

蓋九五之后，人人自以遭唐虞；四十年來(lái)，家家自以為稷卨。王綱近古而不軌，天聽(tīng)貞觀以高揭。蠢爾差僭，粲然優(yōu)劣。宜其課密于空積忽微，刊定于興廢繼絕。而后睹數(shù)統(tǒng)從首，八音六律而惟新；日起算外，一字千金而不滅。

朱鶴齡注此文“數(shù)統(tǒng)從首”引《律歷志》“數(shù)從統(tǒng)首日起算”之說(shuō)。此外引《唐書(shū)》開(kāi)元中僧一行造《大衍歷》、歷成張說(shuō)等上之事，認(rèn)為“課密”以下蓋指此而言。

以上兩段文字安插在三大禮賦中，相互呼應(yīng)，從中可以看出作者有某種整體布局上的考慮。這兩段話的內(nèi)容則主要是依據(jù)《漢書(shū)·律歷志》所載劉歆《三統(tǒng)歷》之說(shuō)，用音律學(xué)和象數(shù)《易》學(xué)來(lái)解釋歷法?！度y(tǒng)歷》“日法八十一”，即分一日為八十一分，“元始黃鐘，初九自乘，一龠之?dāng)?shù)”（《漢書(shū)·律歷志下》），認(rèn)為這一數(shù)字是以黃鐘律管九寸自乘而來(lái)。又“統(tǒng)法一千五百三十九，以閏法乘日法，得統(tǒng)法”，即以閏法19（指十九年七置閏）乘日法81，得1539，為一統(tǒng)的年數(shù)，也是統(tǒng)術(shù)運(yùn)算中的日分?jǐn)?shù)，在許多運(yùn)算中被用作分母。這即是所謂的“起數(shù)得統(tǒng)”。杜甫引用這一說(shuō)法，是用來(lái)說(shuō)明唐應(yīng)土德，其位中央，其音宮，而君亦為宮，律中黃鐘，而黃鐘則是歷法中統(tǒng)法數(shù)據(jù)的來(lái)源。劉歆為歷法數(shù)據(jù)尋找音律的根據(jù)，以此來(lái)證明天道運(yùn)行有某種數(shù)學(xué)規(guī)則的神秘性。杜甫則以此來(lái)論證唐德所在（實(shí)際上，后代歷法已不再勉強(qiáng)與黃鐘律數(shù)配合），并順帶顯示了自己在歷法和數(shù)學(xué)方面的修養(yǎng)。

至于“數(shù)統(tǒng)從首”、“日起算外”兩句，則是講《三統(tǒng)歷》統(tǒng)術(shù)中推（天）正月朔的方法。“數(shù)從統(tǒng)首日起算外，則朔日也”（《律歷志》），即以60（干支一周數(shù)）除積日，所馀數(shù)（大馀）首日干支與統(tǒng)首日干支同，從此日起算，可求得朔日干支。王先謙《漢書(shū)補(bǔ)注》所引錢大昕、董祐誠(chéng)等人之說(shuō)，有詳明解說(shuō)，是朱鶴齡、仇兆鰲二人所未及見(jiàn)的。朱、仇二人只能勉強(qiáng)給出《律歷志》中“統(tǒng)首”的出處，但又拉雜引了其他一些不相干的說(shuō)法，說(shuō)明他們對(duì)這些歷法術(shù)語(yǔ)并不真正理解。

從這兩句來(lái)看，杜甫對(duì)統(tǒng)術(shù)的計(jì)算方法似乎頗有心得，不然也不會(huì)接連使用“統(tǒng)首日”、“算外”這兩個(gè)相當(dāng)冷僻的專門(mén)術(shù)語(yǔ)。果然，好像是有意為了證實(shí)這一點(diǎn)，上元二年（761）杜甫在蜀州為縣令王潛作《唐興縣客館記》，文末忽然別出心裁：

自辛丑歲秋分大馀二，小馀二千一百八十八，杜氏之老記已。

結(jié)尾這幾句話一下難倒了諸位注家。朱注在此下仍引《漢書(shū)·律歷志》推正月朔法，仇注引黃百家之說(shuō)：“杜記蓋謂秋分后二日之二十馀刻耳?！?sup>顯然是逞臆之言。楊倫則直言：“末大馀小馀，即觀朱釋亦未明。”在筆者閱讀范圍內(nèi)，尚未見(jiàn)到其他精于歷算的學(xué)者有馀暇顧及杜甫此文。

此處所言秋分大馀、小馀，是求節(jié)氣的干支日及時(shí)刻。在歷法中，要首先推求天正冬至（歷代歷法冬至均固定在十一月）大馀、小馀，然后依次求其他節(jié)氣的大馀、小馀。在《三統(tǒng)歷》中，統(tǒng)法（日分?jǐn)?shù)）為1539，兩個(gè)冬至日間的年長(zhǎng)為365日，棄去可為60除盡的360整日，馀數(shù)為日。以入統(tǒng)以來(lái)歲數(shù)乘之，所得稱積策馀日，大馀即其整數(shù)部分（日數(shù)）滿60除去后之馀數(shù)，小馀即不足一日的日分?jǐn)?shù)。將冬至大馀加45（滿60仍除去），小馀加1010（滿1539除去，同時(shí)大馀加1），即次節(jié)立春大馀、小馀。依次可推出八節(jié)的大馀、小馀。

但《三統(tǒng)歷》的統(tǒng)法為1539，故小馀應(yīng)＜1539。杜甫此文所給出的秋分小馀為2188，顯然與此不符。朱鶴齡?！岸А币蛔鳌叭А保鹱⒅^“二千”或作“一千”，都不可據(jù)。事實(shí)上，此數(shù)據(jù)并非依據(jù)《三統(tǒng)歷》，而是另有來(lái)歷。朱鶴齡曾認(rèn)為《有事于南郊賦》借漢言唐，所指為一行造《大衍歷》事。此文則提供了一個(gè)確實(shí)的證據(jù)，證實(shí)了杜甫是依據(jù)《大衍歷》來(lái)進(jìn)行此次演算。以下就依據(jù)新舊《唐書(shū)·歷志》所載《開(kāi)元大衍歷經(jīng)》“大衍步中朔第一”部分，對(duì)這兩個(gè)數(shù)據(jù)加以驗(yàn)算。

《大衍歷》稱上元以來(lái)年數(shù)為積算，給出上元至開(kāi)元十二年（724）積算為96961740算（年）。據(jù)此，上元至肅宗上元二年（761）的積算為96961777年?！洞笱軞v》所定通法（日分?jǐn)?shù)，在《三統(tǒng)歷》中稱統(tǒng)法）為3040分，一回歸年所含日分共1110343分，稱策實(shí)。其算法的文字表述是：

推天正中氣，以策實(shí)乘入元距所求積算，命曰中積分。盈大衍通法得一，為積日。不盈者為小馀。爻數(shù)去積日，不盡日為大馀。數(shù)從甲子起算外，即所求年天正中氣冬至日及小馀也。

以策實(shí)乘積算為中積分，即上元到所求年天正冬至的總?cè)辗帧Ｔ诖死校?/p>

96961777×1110343＝107660830359511

以中積分除以通法3040，為積日：

107660830359511÷3040＝35414746828.78651（日）

積日滿60（干支一周，《大衍歷》稱為爻數(shù)）即除去，在此例中，積日／60的整數(shù)部分為590245780，所以冬至大、小馀為：

35414746828.78651（積日）－590245780×60

＝35414746828.78651－35414746800

＝28.78651

即大馀28，從甲子起算外，冬至為壬辰日。小馀為0.78651×3040＝2390.9904（日分）。

下面求節(jié)氣大、小馀。其算法的文字表述是：

求次氣，因天正中氣大小馀，以三元之策及馀、秒加之。其秒盈象統(tǒng)，從小馀。小馀滿大衍通法，從大馀。大馀滿爻數(shù)，去之。命如前，即次氣恒日及馀、秒。

三元之策公式是：

三元之策，一十五；馀，六百六十四；秒，七。

即每一個(gè)節(jié)氣所含日數(shù)為日。自冬至至秋分共18個(gè)節(jié)氣，以此年冬至小馀加18個(gè)節(jié)氣整日之外的馀數(shù)：

2390.99＋664×18＝14348.24

滿3040為一日，除去（滿大衍通法，從大馀）：

14348－3040×4＝2188

即此年秋分小馀。冬至大馀加18個(gè)節(jié)氣整日數(shù)，再加小馀滿通法4日：

28＋15×18＋4＝302

滿60（爻數(shù)）去之：

302－60×5＝2

得大馀2。據(jù)此推算出的此年秋分在八月十三日丙寅。

以上據(jù)《大衍歷》演算結(jié)果，與杜甫給出的上元二年辛丑歲秋分大馀、小馀完全相合。當(dāng)然，步中朔、求干支在歷法中都屬于相對(duì)簡(jiǎn)單、初步的運(yùn)算。其他步發(fā)斂術(shù)、步日躔術(shù)、步交會(huì)術(shù)、步五星術(shù)等內(nèi)容要復(fù)雜得多，更不用說(shuō)一行《大衍歷》在歷法和中國(guó)數(shù)學(xué)史上有許多創(chuàng)新，是一般人難以掌握的。因此，不能據(jù)此文得出杜甫精通歷法的結(jié)論，但他曾研習(xí)此術(shù)并掌握一些基本的運(yùn)算方法，應(yīng)該是可信的。

值得玩味的是，杜甫為什么在此文中運(yùn)用這種在一般文章中極少見(jiàn)的記大馀、小馀方式？筆者查《全唐文》，只有張《龍筋鳳髓判》中有“二分二至，無(wú)虧余遂之蹤；大馀小馀，允葉容成之度”之語(yǔ)，也不過(guò)是借以泛言時(shí)刻。其他在提及節(jié)氣或時(shí)間時(shí)給出準(zhǔn)確的大馀、小馀數(shù)據(jù)的，一例也沒(méi)有。原因大概是，能夠真正掌握這種算法的人很少。一般歷書(shū)是查不到大馀、小馀數(shù)據(jù)的。杜甫又一次讓我們見(jiàn)識(shí)了他的出人意料之處。

要解釋這個(gè)問(wèn)題，不能不聯(lián)想到寫(xiě)作此文的時(shí)間背景?！缎绿茣?shū)·歷志三》記載：

至肅宗時(shí)，山人韓穎上言《大衍歷》或誤，帝疑之。以穎為太子宮門(mén)郎，直司天臺(tái)。又損益其術(shù)，每節(jié)增二日，更名《至德歷》，起乾元元年用之，訖上元三年。

原來(lái)，杜甫寫(xiě)作此文恰在行用《至德歷》期間?！吨恋職v》的具體內(nèi)容不詳，除去這條簡(jiǎn)略記述外別無(wú)記載。據(jù)《唐會(huì)要》卷四二，頒韓穎所造新歷在乾元元年六月十七日。此月，杜甫恰好自朝內(nèi)外放華州司功參軍。唐代所行不同歷法所設(shè)的上元甲子積年及通法是不同的，這直接關(guān)系到各節(jié)氣小馀數(shù)字的計(jì)算。代宗時(shí)所行五紀(jì)歷，即恢復(fù)唐初麟德歷所用通法1340（見(jiàn)《新唐書(shū)·歷志五》），與《大衍歷》不同。這樣，在推算冬至或其他節(jié)氣時(shí)，小馀數(shù)也必然與《大衍歷》不同?！吨恋職v》所設(shè)通法與《大衍歷》是否相同，不得而知。按改歷的一般情況來(lái)看，應(yīng)該有所變化。此外還要考慮到，盡管當(dāng)時(shí)朝廷所頒《至德歷》也應(yīng)在蜀中實(shí)行，但其算法卻未必為眾人所知，而杜甫卻早在開(kāi)元、天寶年間即研習(xí)過(guò)《大衍歷》。所以基本可以肯定，此文所作演算當(dāng)據(jù)《大衍歷》無(wú)疑。

那么，在朝廷行用《至德歷》背景下，使用《大衍歷》作此演算有何意義呢？我們?cè)谶@里不必作太多的政治聯(lián)想，畢竟這只是一篇普通的應(yīng)景文字，但在文中直接給出大馀、小馀數(shù)確實(shí)不同尋常。大馀其實(shí)只是干支日的另一種表示，稍通歷法的人就可以據(jù)干支換算出大馀數(shù)，或進(jìn)行相反計(jì)算，而且不管怎樣改歷，干支（大馀）都不會(huì)有變。但給出大馀數(shù)的結(jié)果是必然同時(shí)給出小馀數(shù)，而小馀數(shù)則必須是經(jīng)過(guò)演算才能得出來(lái)的，是采用某一種歷法的確切表示。而且不通歷法的人，或者沒(méi)有經(jīng)過(guò)一番演算，根本就看不出這種表示的意義，不知道作者為何給出這兩個(gè)數(shù)據(jù)。這正是此文記述大馀、小馀數(shù)的深意所在。筆者認(rèn)為，這是杜甫表達(dá)他對(duì)開(kāi)元盛世懷念的一種方式，與這一時(shí)期他的許多詩(shī)作的主題相通。而這種表達(dá)是專門(mén)寫(xiě)給少數(shù)知音（唐興縣宰王潛或是其一？）以及內(nèi)行人士看的?？上У氖?，由于歷算之學(xué)太過(guò)專門(mén)，一般文人知之甚少，歷代注家竟然都沒(méi)有讀懂。

《傅璇琮先生八十壽慶論文集》，中華書(shū)局2012年

1. 此詩(shī)《續(xù)古逸叢書(shū)》影印《宋本杜工部集》卷十六卷目有，正文缺。《錢注杜詩(shī)》在卷十五，上海古籍出版社1979年排印本，第557頁(yè)。
2. 林繼中輯?！抖旁?shī)趙次公先後解輯?！肺爨硪?，上海古籍出版社1994年，第874頁(yè)。
3. 黃希、黃鶴《補(bǔ)注杜詩(shī)》卷三二，影印《四庫(kù)全書(shū)》本，第1069冊(cè)，第613頁(yè)。
4. 王嗣奭《杜臆》，上海古籍出版社排印本1983年，第230頁(yè)。
5. 朱鶴齡《杜工部詩(shī)集輯注》文集卷一，河北大學(xué)出版社2009年，第864頁(yè)。
6. 仇兆鰲《杜詩(shī)詳注》卷二四，中華書(shū)局1979年，第2118頁(yè)。
7. 《杜工部詩(shī)集輯注》，第879頁(yè)。
8. 唐興縣即蜀州唐安縣?！对涂たh圖志》卷三一蜀州：“唐興縣，望。西北至州四十里。本漢江原縣地，后魏于此立犍為郡。……武德元年于廢州置唐隆縣，屬益州，垂拱二年割入蜀州。先天元年以犯諱改為唐安，至德二年改為唐興縣?！毙屡f《唐書(shū)·地理志》蜀州唐安縣，皆未載其至德改名。舊注皆引東川遂州唐興縣，天寶元年改為蓬溪，謂此文及《逢唐興劉主簿弟》等詩(shī)沿舊稱，誤。
9. 《杜詩(shī)詳注》卷二五，第2207頁(yè)。
10. 楊倫《杜詩(shī)鏡銓》文集卷一，上海古籍出版社1981年，第1076頁(yè)。
11. 《舊唐書(shū)·歷志三》作“九千六百六十六萬(wàn)一千七百四十算”，誤。此據(jù)《新唐書(shū)》。
12. 《舊唐書(shū)》卷三四《歷志三》，中華書(shū)局1975年，第1232頁(yè)。
13. 《舊唐書(shū)》卷三四，第1232頁(yè)。
14. 《舊唐書(shū)》卷三四，第1232頁(yè)。
15. 參見(jiàn)張培瑜等《中國(guó)古代歷法》第八章大衍歷，中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社2008年，第487頁(yè)。
16. 《全唐文》卷一七四《漏生夜睡不覺(jué)失明，天曉已后，仍少六刻不盡，鐘鼓既晚，官司失朝》，中華書(shū)局影印1982年，第1773頁(yè)。
17. 專門(mén)討論歷法問(wèn)題的不在此列，如傅仁均《對(duì)王孝通駁歷法議》（《全唐文》卷一三三）。元稹《景申秋八首》（《全唐詩(shī)》卷四一〇）：“風(fēng)頭難著枕，病眼厭看書(shū)。無(wú)酒銷長(zhǎng)夜，回?zé)粽招♀?。三元推廢王，九曜入乘除。廊廟應(yīng)多算，參差斡太虛。”是詩(shī)歌中僅見(jiàn)用此語(yǔ)者。
18. 《新唐書(shū)》卷二七《歷志三下》，中華書(shū)局1975年，第635頁(yè)。
19. 朝廷所頒只能是日歷形式的歷書(shū)，算法必須另有專書(shū)?！缎绿茣?shū)·藝文志三》歷算類著錄《開(kāi)元大衍歷》一卷、《寶應(yīng)五紀(jì)歷》四十卷、《建中正元?dú)v》二十八卷等皆是此類專書(shū)，但這類書(shū)必然流傳不廣?！吨恋職v》的算法書(shū)是否寫(xiě)成，也不得而知。
20. 《舊唐書(shū)·代宗紀(jì)》載：寶應(yīng)元年九月“甲午，秘書(shū)監(jiān)韓穎、中書(shū)舍人劉烜配流嶺表，尋賜死，坐狎昵李輔國(guó)也?！笔掠忠?jiàn)《新唐書(shū)·宦者傳》。從時(shí)間上看，杜甫未必趕上與韓穎同朝處事。如果杜甫曾與聞其人，必是十分厭惡的。